| Tesis Doctorales de la Universidad de Alcalá |
| ESTUDIO ASINTÓTICO DE CURVAS Y SUPERFICIES | | Autor/a | Campo Montalvo, Elena | | Departamento | Física y Matemáticas | | Director/a | Pérez Díaz, Sonia | | Fecha de defensa | 14-12-2022 | | Calificación | Sobresaliente cum laude | | Programa | Ciencias (RD 99/2011) | | Mención internacional | No | | Resumen | Esta memoria se encuadra en el área de la geometría algebraica, el cálculo simbólico y sus aplicaciones en el diseño geométrico asistido por ordenador (Computer Aided Geometric Design, CAGD). Su objetivo es avanzar, desde los estudios preliminares relacionados con la caracterización de curvas algebraicas planas, hacia el análisis de las propiedades de las ramas de una curva en puntos con coordenadas "suficientemente grandes" y hacia la construcción de las "asíntotas generalizadas" de una curva, extendiendo la investigación al caso de superficies algebraicas.
Se crean nuevos métodos de computación simbólica, que caracterizan a las curvas algebraicas planas y analizan el comportamiento de sus ramas infinitas, pudiendo extraer una gran parte de la información sobre el comportamiento de una curva, estudiar la topología de ciertas variedades algebraicas, curvas planas y superficies en tres dimensiones, y representarlas gráficamente en el infinito. Además, se presentan algoritmos e implementaciones que construyen de manera efectiva las asíntotas generalizadas de una curva dada, junto con un análisis de su rendimiento.
Se trata, por tanto, de una investigación que involucra a dos disciplinas científicas: la matemática y la computación, haciendo que las expresiones matemáticas y los objetos matemáticos puedan manejarse, utilizando el cálculo simbólico, para resolver problemas del mundo real.
Así, las principales aportaciones e innovaciones de esta tesis doctoral son:
(1) el desarrollo de métodos efectivos y exactos para la construcción de las ramas infinitas y de las asíntotas de una curva algebraica plana, mediante el cálculo de límites y derivadas,
(2) el diseño e implementación de algoritmos eficientes para el cálculo de las asíntotas de curvas algebraicas planas (con el software de álgebra Mapl), así como el análisis de su rendimiento computacional,
(3) la determinación de ciertas propiedades obtenidas a partir de las ramas infinitas y construcción de familias de curvas a partir de ciertas asíntotas y
(4) definición de conceptos de rama infinita, ramas infinitas convergentes y aproximación aplicados a superficies algebraicas.
Estos resultados pueden adaptarse al espacio $n$-dimensional y a curvas definidas por parametrizaciones no necesariamente racionales. Además, se abren futuras líneas de investigación aplicada, en el área del diseño gráfico en 3-D, en el campo de la ingeniería de datos, o en el ámbito del análisis del rendimiento y eficiencia computacional de algoritmos, entre otras áreas de investigación y desarrollo.
Palabras clave: Curvas algebraicas, superficies algebraicas, ramas infinitas, ramas convergentes, curvas aproximantes, asíntotas generalizadas, g-asíntotas, rendimiento computacional. |
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